1. в параллелограмме abcd сторона cd равна 3 см,
диагонали равны 7 см и 4 см, о - точка пересечения
диагоналей. чему равен периметр треугольника аов?
2. в параллелограмме один угол равен 44°. найдите
остальные углы параллелограмма.
3*. в треугольнике abc /a = 50°. из точки, взятой
на стороне bc, проведены две прямые, параллельные сто-
ронам ab и ac. определите вид получившегося четырех-
угольника и все его углы.
вариант 2
1. в параллелограмме abcd диагонали равны 8 см и
5 см, сторона вс равна 3 см, 0 — точка пересечения диа-
гоналей. чему равен периметр треугольника аор?
2. в параллелограмме один из углов равен 144°. най-
дите остальные углы параллелограмма.
3*. из точки, взятой на одной из сторон равносторон-
него треугольника, проведены две прямые, параллельные
другим его сторонам. определите вид получившегося
четырехугольника и все его углы
Объяснение:
Дано:
<AOB и <COD
<COD внутри <AOB
AO ┴ OD; CO ┴ OB;
<AOB - <COD = 90°
Найти: <AOB и <COD.
Решение
Т.к . AO ┴ OD; CO ┴ OB,
то <AOD = 90; <COB = 90°.
<COD = <AOD - <AOC
<COD = <COB - <DOB
<COD = 90° - <AOC
<COD = 90° - <DOB
Получим
<AOC = 90° - <COD
<DOB = 90° - <COD
Следовательно <AOC = <DOB
2) По условию: <AOB - <COD = 90°
Но если от всего угла <AOB отнять <COD, то останутся два равных угла <AOC и <DOB, значит, это их сумма равна 90°.
<AOC + <DOB = 90° =>
<AOC = <DOB = 90°/2 = 45°
3) <COD = 90° - <DOB
<COD = 90° - 45°=45°
4) <AOB = <AOC + <DOB + <DOB
<AOB = 45° + 45° + 45° = 135°
ответ: <AOB - 135°; <COD =45°.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301