Через каждую из вершин данного треугольника проведены прямые, перпендикулярные биссектрисы этого треугольника. Эти прямые вместе со сторонами треугольника образуют три треугольника. Докажите что углы этих треугольников соответственно равны
Теорема Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ (по теореме о средней линии треугольника) , поэтому 1= 2 и 3= 4. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А1О, ВО и В1О, АВ и А1В. Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении2:1, считая от вершины. Теорема доказана.
ОА=5 - катет, ОВ = 10 - гипотенуза. Катет в два раза короче гипотенузы, следовательно он лежит напротив угла в 30°. Значит ∠АВО=30°, ∠АОВ=90°-30°=60°.
Рассмотрим ΔОВС. Он прямоугольный, т.к. радиус ОС проведен в точку касания, т.е. ОС⊥СВ. АО=ОС, т.к. являются радиусами окружности. ОВ - общая сторона треугольников АВО и ОВС. ΔАВО=ΔОВС по гипотенузе и катету.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство
Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ (по теореме о средней линии треугольника) , поэтому 1= 2 и 3= 4. Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А1О, ВО и В1О, АВ и А1В. Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении2:1, считая от вершины. Теорема доказана.
Рассмотрим ΔАВО. ОА - радиус окружности. ВА - касательная. Радиус окружности, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. Следовательно ΔАВО прямоугольный. ∠ОАВ = 90°.
ОА=5 - катет, ОВ = 10 - гипотенуза. Катет в два раза короче гипотенузы, следовательно он лежит напротив угла в 30°. Значит ∠АВО=30°, ∠АОВ=90°-30°=60°.
Рассмотрим ΔОВС. Он прямоугольный, т.к. радиус ОС проведен в точку касания, т.е. ОС⊥СВ. АО=ОС, т.к. являются радиусами окружности. ОВ - общая сторона треугольников АВО и ОВС. ΔАВО=ΔОВС по гипотенузе и катету.
Следовательно ∠АОВ=∠ВОС=60°.
∠АОС=∠АОВ+∠ВОС=60°+60°=120°.
ответ: ∠АОС=120°.