Дано, что BD — биссектриса угла CBA. AB⊥DAиEC⊥CB.

Найди CB, если DA= 9 см, AB= 12 см, EC= 6,75 см.

lidzTr_bis.PNG

Сначала докажем подобие треугольников. (В каждое окошечко впиши одну латинскую букву или число.)

∢
=∢C=
°∢C
E=∢D
A,т.к.BE− биссектриса}⇒ΔADB∼ΔCEB, по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

CB=
см.

В треугольнике ОСД известны три стороны - можно определить его углы по теореме косинусов:
cos A = (b²+c²-a²) / (2bc).
Подставив а = 20, в = 37, с = 51, получим:
a        b       c      p   2p      S
20     37     51    54 108    306.0 
400 1369 2601 -832 1480
cos A = 0.9459459  cos B = 0.8            cos С = -0.56216
Аrad = 0.3302974   Brad = 0.643501    Сrad = 2.167794
Аgr = 18.924644     Bgr = 36.8699        Сgr = 124.2055.
Если в точку С перенести диагональ ВД, то получим треугольник АСМ, у которого основание АМ = АД + (ДМ = ВС =АД) = 2АД.
Угол АСМ = АСД+ДСМ.
Угол АСД ранее найден как угол А, угол ДСМ как накрестлежащий с ранее найденным углом В, поэтому АСМ = 18.924644 + 36.8699 = 55,79454°.
АД = (1/2) АМ = (1/2)*61.22091 =  30.61045573
a    b   c             С градус С радиан cos C =
74 40 61.22091 55.79454 0.973798 0.5621622
 a^2 b^2 2ab cos C 5476 1600 3328 
Перпендикуляр,опущенный из вершины параллелограмма на сторону АВ равен Диагонали АС*cos BAC.
Угол ВАС равен углу АСД = 18.924644°.
Тогда СК = 74*0,3243243 = 24.

ABCD - трапеция; AD - нижнее основание; BC - верхнее основание; O - точка пересечения диагоналей. EF проходит через точку O и параллельно основаниям. MN проходит через точку O и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. E∈AB; F∈CD; M∈BC; N∈AD
Тр-к BOC подобен тр-ку AOD. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. Значит, AD:BC=3^:1; MO:ON=1:3; MO:MN=1:4;
Пусть BC=x⇒AD=3x; MO=y;⇒ON=3y; MN=4y
Площадь трапеции ABCD равна: S=1/2(AD+BC)*MO=1/2(x+3x)*4y=8xy
Выразим через S площади BEFC  и AEFD.
Площадь AEFD равна сумме площадей AOFD  и AEO.
Рассмотрим тр-ки ACD и OCF. Они подобны. Их высоты относятся как 4:1, а площади как 16:1. Площадь ACD равна 1/2*3x*4y=6xy. Площадь OCF равна 1/16*6xy=3/8*xy. Площадь AOFD  равна разности площадей ACD и OCF:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
Рассмотрим тр-ки ABC и AEO. Они подобны. Их высоты относятся как 4:3, а площади как 16:9. Площадь ABC равна 1/2*x*4y=2xy. Площадь AEO равна 9/16*2xy=9/8*xy. Площадь AEFD  равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
Площадь BEFC равна разности площадей ABCD и  AEFD:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
S(BEFC): S(AEFD)=5/4*xy:27/4*xy=5:27