На биссектрисе угла B треугольника ABC отмечены точки E и F такие, что
AB = BE и CB = BF. Докажите, что AF = CE?
2. (a) Две высоты треугольника равны. Докажите, что он равнобедренный;
(b) Докажите, что высоты, проведенные к боковым сторонам равнобедренного
треугольника, равны.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Кроме того,
внутри него существует такая точка O, что AO = OD и BO = CO. Докажите,
что диагонали четырехугольника равны.

Объяснение:

12) Рассмотрим треугольник MNP.

MK - высота, MK = KN => Треугольник МNP - равнобед. (свойство высоты равнобедренного треугольника)

Угол М = угол N = 60 градусов (углы при основании)

Угол MPN = 180 - угол М - угол N = 180 - 60 - 60 = 60 градусов

Угол KPN = угол КРМ = 0,5 * 60 (угол MPN) = 30 градусов (КР - биссектриса, медиана, высота)

13) Рассмотрим треугольник SKP.

SK = KP => треугольник SKP - равнобед.

Угол SKP = Угол SKT * 2 = 25 * 2 = 50 градусов (KT - высота проведённая к основанию => KT - медиана, биссектриса)

Угол P = (180 - угол SKT):2 = (180 - 50):2 = 65 градусов

Угол P = угол S = 65 градусов (углы при основании)

Объяснение:

19) Рассмотрим треугольник АОD - прямоуг.

Угол О = 90 градусов

Угол D = 90 - 65 (угол А) = 25 градусов (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике)

Или

Угол D = 180 - 90 - 65 = 25 градусов

Рассмотрим треугольник СОВ.

Угол AOD = угол COB = 90 градусов (верт.)

Угол ОВС = 180 - 90 - 65 = 25 градусов

Угол В = 180 - 90 - 25 (угол ОВС) = 65 градусов

20) Рассмотрим треугольник QOC.

Угол QOC = 180 - Угол Q - угол С = 180 - 80 - 45 = 55 градусов

Рассмотрим треугольники QOC и MOR.

QO = OR

CO = OM

Угол QOC = угол MOR (верт.) = 55 градусов =>

Треугольники равны по I признаку равенства треугольников (2 стороны и угол между ними) =>

угол Q = угол R = 80 градусов

Угол С = угол М = 45 градусов