Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами - вопрос №14657822 от denis20043601 26.07.2021 15:55

Question

Геометрия: Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

denis20043601 · Answer

Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

Объяснение:

1) Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых - правильный треугольник. Пусть ребро октаэдра а.

V( октаэдра)=1/3*√2*а³ , ABCD-квадрат .

2) Пусть Р-центр правильного ΔАВМ .Тогда М-точка пересечения медиан .Тогда по т. о точке пересечения медиан $\frac{MP}{PX} =\frac{2}{1}$ ⇒ $\frac{MP}{MX} =\frac{2}{3}$ .

3) Аналогично для правильного ΔDCМ ⇒ $\frac{MK}{MY} =\frac{2}{3}$ .

4) ΔМРК подобен ΔМXY по 2-м пропорциональным сторонам ( см п. 2,3) и равному углу между этими сторонами (∠РМК-общий).

Тогда $\frac{PK}{XY} =\frac{2}{3}$ , $\frac{PK}{a} =\frac{2}{3}$ ,РК= $\frac{2}{3}$ *а .

5) V( куба)=( $\frac{2}{3}$ *а)³ = $\frac{8}{27}$ *а³ . Тогда отношение объёмов будет равно :

$\frac{\frac{1}{3}*\sqrt{2}*a^{3} }{\frac{8}{27}*a^{3} }$ = $\frac{9\sqrt{2} }{8}$ .

Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.