Сказка о треугольниках Жила на свете важная геометрическая фигура. Важность её признавалась всеми людьми, ибо при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. Любимая песенка этой чудо фигуры Меня знает каждый школьник, И зовусь я треугольник. У меня вершины три, Также три и стороны. Два угла при основании мои равны и боковые стороны одинаковые, думал треугольник и решил назвать себя равнобедренным. Скучно было равнобедренному треугольнику одному, отправился он искать друзей. Встречает как-то фигуру: стороны три и угла три. Вот только один угол прямой! Ура! Это прямоугольный треугольник! Стали они дружить. Вместе трудиться, вместе веселиться. Как – то встретили отрезок и решили поэкспериментировать: приложили его одним концом к вершине, а другим к середине противоположной стороны. Красота, это будет МЕДИАНА! Попробуем ещё – поделим угол пополам! Все также скачет по углам Веселая, смешная крыса. Мы делим радость пополам, А делит угол биссектриса. Вот так они проводили досуг. Однажды гуляя по лесу, встретили очень похожую парочку. Познакомились и стали играть в сравнение. Прижался равнобедренный треугольник к похожему на себя и все точки совпали. Ура! Мы одинаковые. Думали они о равенстве думали и придумали три теоремы: -если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны; - если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны; - если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. Много времени проводят вместе друзья и встречают новых измени немного текст под себя
ОбъяІншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціальним знаком: *. Запис F * F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».
З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — подібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).
Властивості подібних фігур
1) Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).
2) Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .
3) Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібності k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k1· k2.
4) Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Доведемо цю властивість для многокутників.
Нехай F і F' — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S' — їхні площі (рис. 175).
З'ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб'ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, ..., Δп, сума площ яких дорівнює S.
Перетворення подібності, яке переводить F у F', переводить ці трикутники у трикутники , , ..., , сума площ яких дорівнює S'.
Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і висоти трикутників Δ1, Δ2, ..., Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, ..., ап і hп, то основи і висоти трикутників , , ..., дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, ..., kan і khn. Тоді
S' = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + ... + kan · khn = k2= k2S.
Оскільки S' = k2S,.
Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів.
Розв'язування вправ
1. Наведіть приклади подібних фігур.
2. Чи подібні будь-які рівні фігури?
3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?
4. Про дві фігури відомо, що F2 * F1 і F1 * F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?
5. Згадайте означення подібних трикутників.
6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.
IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Розв'язування задач
1. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2)
2. Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь. (см))
3. Площа меншого многокутника дорівнює 45 см2. Чому дорівнює площа більшого многокутника, подібного даному, якщо відповідні сторони многокутників дорівнюють 10 см і 15 см? (Відповідь. 101,25 см2)
4. Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. )
5. Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.
Розв'язання
Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.
Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).
Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.
6. Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.
Розв'язання
Нехай у трикутнику ABC (рис. 176) BDAC, FKBD, SΔFВК * SΔFKC, BD = h.
ΔFBK * ΔАВС (за двома кутами), тоді . Враховуючи, що SΔABC = 2SΔFBK BD = h, маємо = , звідси BS2 = BS, або BS = = .
Відповідь. .
7. На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).
Розв'язання
Нехай S — площа трикутника CEF. ΔADF * ΔBED (оскільки кожний із них подібний трикутнику ABC.
Отже, , звідси .
Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.
Тоді , звідси S = S1 = .
Відповідь. .
V. Домашнє завдання
1. Вивчити теоретичний матеріал.
2. Розв'язати задачі.
1) Через середину висоти трикутника перпендикулярно до неї проведено пряму. У якому відношенні вона ділить площу трикутника?
2) Периметри правильних л-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі?
VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу
1. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.
2. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : 4)
3. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. 14,4 см2)
Попередня
Зміст
Наступна
Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити
Жила на свете важная геометрическая фигура. Важность её признавалась всеми людьми, ибо при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. Любимая песенка этой чудо фигуры
Меня знает каждый школьник,
И зовусь я треугольник.
У меня вершины три,
Также три и стороны.
Два угла при основании мои равны и боковые стороны одинаковые, думал треугольник и решил назвать себя равнобедренным.
Скучно было равнобедренному треугольнику одному, отправился он искать друзей. Встречает как-то фигуру: стороны три и угла три. Вот только один угол прямой! Ура! Это прямоугольный треугольник! Стали они дружить.
Вместе трудиться, вместе веселиться. Как – то встретили отрезок и решили поэкспериментировать: приложили его одним концом к вершине, а другим к середине противоположной стороны. Красота, это будет МЕДИАНА! Попробуем ещё – поделим угол пополам!
Все также скачет по углам
Веселая, смешная крыса.
Мы делим радость пополам,
А делит угол биссектриса.
Вот так они проводили досуг. Однажды гуляя по лесу, встретили очень похожую парочку. Познакомились и стали играть в сравнение. Прижался равнобедренный треугольник к похожему на себя и все точки совпали. Ура! Мы одинаковые. Думали они о равенстве думали и придумали три теоремы:
-если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны;
- если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны;
- если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Много времени проводят вместе друзья и встречают новых
измени немного текст под себя
ОбъяІншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціальним знаком: *. Запис F * F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».
З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — подібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).
Властивості подібних фігур
1) Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).
2) Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .
3) Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібності k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k1· k2.
4) Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.
Доведемо цю властивість для многокутників.
Нехай F і F' — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S' — їхні площі (рис. 175).
З'ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб'ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, ..., Δп, сума площ яких дорівнює S.
Перетворення подібності, яке переводить F у F', переводить ці трикутники у трикутники , , ..., , сума площ яких дорівнює S'.
Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і висоти трикутників Δ1, Δ2, ..., Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, ..., ап і hп, то основи і висоти трикутників , , ..., дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, ..., kan і khn. Тоді
S' = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + ... + kan · khn = k2= k2S.
Оскільки S' = k2S,.
Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів.
Розв'язування вправ
1. Наведіть приклади подібних фігур.
2. Чи подібні будь-які рівні фігури?
3. Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?
4. Про дві фігури відомо, що F2 * F1 і F1 * F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?
5. Згадайте означення подібних трикутників.
6. Сформулюйте ознаки подібності трикутників.
IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Розв'язування задач
1. Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2)
2. Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь. (см))
3. Площа меншого многокутника дорівнює 45 см2. Чому дорівнює площа більшого многокутника, подібного даному, якщо відповідні сторони многокутників дорівнюють 10 см і 15 см? (Відповідь. 101,25 см2)
4. Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. )
5. Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.
Розв'язання
Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.
Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).
Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.
6. Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.
Розв'язання
Нехай у трикутнику ABC (рис. 176) BDAC, FKBD, SΔFВК * SΔFKC, BD = h.
ΔFBK * ΔАВС (за двома кутами), тоді . Враховуючи, що SΔABC = 2SΔFBK BD = h, маємо = , звідси BS2 = BS, або BS = = .
Відповідь. .
7. На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).
Розв'язання
Нехай S — площа трикутника CEF. ΔADF * ΔBED (оскільки кожний із них подібний трикутнику ABC.
Отже, , звідси .
Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.
Тоді , звідси S = S1 = .
Відповідь. .
V. Домашнє завдання
1. Вивчити теоретичний матеріал.
2. Розв'язати задачі.
1) Через середину висоти трикутника перпендикулярно до неї проведено пряму. У якому відношенні вона ділить площу трикутника?
2) Периметри правильних л-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі?
VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу
1. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.
2. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : 4)
3. Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. 14,4 см2)
Попередня
Зміст
Наступна
Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити
снение: