В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар.
R шара (ОО1, О1К) = 3 см.
∠SFO = 60˚.
V пирамиды - ?
Проведём биссектрису О1F.
△O1OF - прямоугольный, так как SO - высота.
=> ∠O1FO = O1FK = 60˚/2 = 30˚
"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".
=> O1F = 3 * 2 = 6 см
Найдём катет OF, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)
b = √(c² - a²) = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см
Итак, OF = 3√3 см
△SOF - прямоугольный, так как SO - высота.
"Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3".
=> SO = OF * √3 = 3√3 * 3 = 9 см.
Итак высота пирамиды SO = 9 см.
MO = OF = 3√3 см, так как SО - высота пирамиды.
=> MF = 3√3 * 2 = 6√3 см
Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.
"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".
=> MF = AB = BC = DC = AD = 6√3 см
S квадрата = а², где а - сторона квадрата.
S квадрата = (6√3)² = 108 см²
V пирамиды = 1/3 * S квадрата * SO = 1/3 * 108 * 9 = 324 см³
1) √53 дм. 2)20√2 дм². 3)V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².
Объяснение:
1) Найдём диагонали основания по Пифагору.
D = √(20² - 16²) = √(400 – 256) = √144 = 12
d = √(18² - 16²) = √(324 – 256) = √68
a = √(D +d)/2
a = √(12² + (√68)²)/2 = √(144 + 68)/2 =√212/2 = √53
ответ: √53 дм.
2) Основания – квадраты. D – диагональ большего основания, d – диагональ меньшего основания.
Диагональное сечение – трапеция высотой 4 и с основаниями D и d.
D = 8√2; d = 2√2
S = 1/2*(8√2 + 2√2)*4 = 1/2* 10√2* 4 = 20√2
ответ: 20√2 дм².
3) ABC – равносторонний треугольник, EO – радиус вписанной окружности, r = a√3/6.
EO = 4√3/6 = 2√3/3
DE – апофема, ∠EDO = 90 – 60 = 30°
⟹ DE = 2EO = 4√3/3
DO – высота пирамиды, DO = √(DE² - EO²)
DO = √((4√3/3)² - (2√3/3)²) = √(16*3/9 – 4*3/9) = √(48/9 – 12/9) = √(36/9) = √4 = 2
V = ha²/4√3
V = 2*4²/4√3 = 2*16/4√3 = 8/√3 = 8√3/3
Sосн. = √3/4 * a²; Sбок. = 1/2PL
S осн. = 4²*√3/4 = 16√3/4 = 4√3; Sбок. = 1/2*16*4√3/3 = 32√3/3
S = 4√3 + 32√3/3 = 12√3/3 + 32√3/3 = 48√3/3 = 16√3
ответ: V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².
В правильную четырёхугольную пирамиду вписан шар.
R шара (ОО1, О1К) = 3 см.
∠SFO = 60˚.
Найти:V пирамиды - ?
Решение:Проведём биссектрису О1F.
△O1OF - прямоугольный, так как SO - высота.
=> ∠O1FO = O1FK = 60˚/2 = 30˚
"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".
=> O1F = 3 * 2 = 6 см
Найдём катет OF, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)
b = √(c² - a²) = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см
Итак, OF = 3√3 см
△SOF - прямоугольный, так как SO - высота.
"Если угол прямоугольного треугольника равен 60°, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катера на √3".
=> SO = OF * √3 = 3√3 * 3 = 9 см.
Итак высота пирамиды SO = 9 см.
MO = OF = 3√3 см, так как SО - высота пирамиды.
=> MF = 3√3 * 2 = 6√3 см
Так как данная пирамида - четырёхугольная, правильная => основание этой пирамиды - квадрат.
"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".
=> MF = AB = BC = DC = AD = 6√3 см
S квадрата = а², где а - сторона квадрата.
S квадрата = (6√3)² = 108 см²
V пирамиды = 1/3 * S квадрата * SO = 1/3 * 108 * 9 = 324 см³
ответ: 324 см³1) √53 дм. 2)20√2 дм². 3)V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².
Объяснение:
1) Найдём диагонали основания по Пифагору.
D = √(20² - 16²) = √(400 – 256) = √144 = 12
d = √(18² - 16²) = √(324 – 256) = √68
a = √(D +d)/2
a = √(12² + (√68)²)/2 = √(144 + 68)/2 =√212/2 = √53
ответ: √53 дм.
2) Основания – квадраты. D – диагональ большего основания, d – диагональ меньшего основания.
Диагональное сечение – трапеция высотой 4 и с основаниями D и d.
D = 8√2; d = 2√2
S = 1/2*(8√2 + 2√2)*4 = 1/2* 10√2* 4 = 20√2
ответ: 20√2 дм².
3) ABC – равносторонний треугольник, EO – радиус вписанной окружности, r = a√3/6.
EO = 4√3/6 = 2√3/3
DE – апофема, ∠EDO = 90 – 60 = 30°
⟹ DE = 2EO = 4√3/3
DO – высота пирамиды, DO = √(DE² - EO²)
DO = √((4√3/3)² - (2√3/3)²) = √(16*3/9 – 4*3/9) = √(48/9 – 12/9) = √(36/9) = √4 = 2
V = ha²/4√3
V = 2*4²/4√3 = 2*16/4√3 = 8/√3 = 8√3/3
Sосн. = √3/4 * a²; Sбок. = 1/2PL
S осн. = 4²*√3/4 = 16√3/4 = 4√3; Sбок. = 1/2*16*4√3/3 = 32√3/3
S = 4√3 + 32√3/3 = 12√3/3 + 32√3/3 = 48√3/3 = 16√3
ответ: V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².