Стереометрия 10-11 класс. в правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 8 см, а боковое ребро 3 корня из 2-х см. через диагональ основания под углом 45 градусов к его плоскости проведено сечение. найдите его площадь.

ABCD- квадрат. BD⊥AC, BD пересекает AC  в точке O, АО=СО, BO=DO.

Угол 45° между плоскостью основания и плоскостью сечения - угол между отрезками, проведенными  в плоскости основания и сечения перпендикулярно к диагонали  BD в точке О. . 

Проведем  из О перпендикулярно ВD луч до пересечения в точке К с продолжением СС1. 

В прямоугольном треугольнике∠КОС=45°, ⇒ угол ОКС =45° и ∆ КСО -  равнобедренный .

ОС=DС•sin45°=8•√2/2=4√2

СK=ОC=4√2. 

ОК=ОС:sin45°=4√2:2=8 см

Прямоугольные ∆KHC1~∆KOC по общему углу при К. 

КС1=KC-CC1=4√2-3√2=√2  

k=KC1/KC=√2:4√2=1/4      Тогда КН=КO•1/4,

 HO=KO•3/4=8•3/4=6 см 

В сечении MT||BD. Четырехугольник ВМТD- трапеция. ОН - её высота. 

Диагонали квадрата - биссектрисы его углов.  ABD=DBA=45°

ВD=AB:sin45°=8:√2/2=8√2

∆КМТ~∆KBD, 

MT=8√2:4=2√2  см

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. 

S=(MT+BD)•OH:2=((2√2+8√2)•6:2=30 см*