Сторона основания правиль- ной четырехугольной пирамиды равна
6 м, апофема — 5 м. Найдите: 1) вы-
соту пирамиды; 2) двугранный угол при
основании; 3) боковое ребро; 4) угол
между боковым ребром и плоскостью ос-
нования; 5) плоский угол при вершине

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ =8 и АС = 64.

Точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD  перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

–––––––––––––––––

Продлим ВD до пересечения с окружностью в точке М. 

Хорда МВ перпендикулярна радиусу ОА ( по условию)  и при пересечении с ним делится пополам ( свойство). 

Тогда  радиус ОА делит угол ВОМ пополам. Дуги АМ и АВ, на которые опираются равные центральные углы МОА и ВОА, также равны. 

Отсюда следует равенство углов АВМ и ВСА - опираются на равные дуги. 

В треугольниках АВС и АВD угол ВАС общий, ∠АВD=∠ВСА ⇒

 ∆ АВС ~  ∆ АВD по 1-му признаку подобия. Из подобия следует отношение:

АВ:АС=АD:АВ

АВ²=АD•AC

64=AD•64⇒  AD=1

CD=64-1=63 (ед. длины)

ответ: 6,72

Объяснение: Ортотреугольником называют треугольник, вершинами которого являются  основания высот некоторого треугольника.

                     *   *   *

 На рисунке точки К, М и Н - основания  высот треугольника АВС. ⇒ ∆КМН - его ортотреугольник.

 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. ⇒ АН=СН=4:2=2.

Прямоугольные ⊿ АКС=⊿ СМА по равному острому углу ( ∠А=∠С как углы при основании равнобедренного  треугольника) и общей гипотенузе АС.

Медианы прямоугольных треугольников равны половине гипотенузы.. КН=МН=4:2=2. Следовательно, АН=КН, СН=МН, – ∆ АКН и ∆ СМН равнобедренные,  при этом углы при их основаниях равны углам при основании ∆ АВС.  Поэтому  

∆ АКН и ∆СМН  подобны ∆ АВС.

Из подобия следует НС:ВС=МС:АС ⇒ 2:5=МС:4, откуда МС=8/5=1,6

ВК=ВМ=ВС-СМ=5-1,6=3,4

∆ КВМ~∆ АВС ( оба равнобедренные с общим острым углом В) ⇒

ВК:АВ=КМ:АС ⇒ КМ=3,4•4:5=2,72

Р(КМН)=КМ+КН+МН=2,72+2+2=6,72 ( ед. длины)