В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 30 градусам. Основание ac равно 10см,точка d середина основания. Докажите, что расстояния от точки d до сторон ab и bc равны, найдите эти расстояния

Если окружность касается осей координат, то центр окружности О отстоит от начала координат на величину радиуса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, где ОА - гипотенуза, равная радиусу R, а 2 катета равны: R - 2 и R - 1.
По Пифагору R² = (R - 2)² + (R - 1)².
Раскроем скобки)
R² = R²-4R+4+R²-2R+1.
Получаем квадратное уравнение R²-6R+5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*5=36-4*5=36-20=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-6))/(2*1)=(4-(-6))/2=(4+6)/2=10/2=5;
x₂=(-√16-(-6))/(2*1)=(-4-(-6))/2=(-4+6)/2=2/2=1.
Второй корень не удовлетворяет условию задачи и его отбрасываем.
ответ: центр (-5;5), R = 5.

Стержень - это цилиндр высотой Н и радиусом R.
Квадратные гайки - это прямоугольный параллелепипед высотой Н и основанием - квадрат со стороной а=12 см. Чтобы был минимальный расход материала, нужно прямоугольный параллелепипед вписать в цилиндр. Значит диаметр стержня D будет равен диагонали квадрата d:
D=d=a√2=12√2.
Объем стержня Vс=πR²H=πD²H/4=π*288H/4=72πH.
Объем прям.параллелепипеда Vп=a²H=144H.
Объем проделанного отверстия радиусом r=6/2=3:
 Vо=πr²H=9πH.
Найдем отходы V=Vc-Vп+Vo=72πН-144Н+9πН=9Н(9π-16)
Процент отходов от объема %=V*100/Vc=9Н(9π-16)*100/72πН=12,5(9π-16)/π=112,5-200/π≈112,5-63,69=48,81%