В треугольнике ABC O - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Угол AOB равен 120 градусам, сторона AB равна 12 см. Найти OC

Обозначим скрещивающиеся прямые АВ и СD. Отметим на прямой АВ точку О.  

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем эту плоскость через точку О и прямую СD.

2. Соединим центр СD с точкой О. От концов СD проведем отрезки, параллельные и равные  первой прямой. Обозначим их концы С₁ и D₁  соединим.  

Мы получили две пересекающиеся прямые АВ и  С₁D₁, через которые можно провести плоскость, и притом только одну. Проведенная таким образом плоскость параллельна прямой СD.

1) Один очень лёгкий: координаты точки пересечения медиан равны среднему арифметическому координат вершин.

А(-2;3;-6), B(-3;5;2), C(5;1;6),

x(O) = (-2-3+5)/3 = 0.

y(O) = (3+5+1)/3 = 3,

z(O) = (-6+2+6)/3 = 2/3.

Второй основан на свойстве точки пересечения медиан - она делит медиану в отношении 2:1 от вершины.

Находим координаты точки А1 как середины ВС:(B(-3;5;2)+ C(5;1;6))/2.

Точка А1 (середина ВС)  

a1x     a1y       a1z

1          3         4.

Поделим отрезок АА1 в отношении 2:1. А(-2;3;-6), А1(1; 3; 4).

АА1 = (3; 0; 10)

|AA1| = 10,44030651, квадрат 109.

x(О) = xА + (2/3)(АА1) = -2+((2/3)*3) = 0,

y(О) = yА + (2/3)(АА1) = 3+((2/3)*0) = 3,

z(О) = zА + (2/3)(АА1) = -6+((2/3)*10) = (-18+20)/3 = 2/3.

2) Дано: A(3;4;0), B(-4;2;0), C(6;5;0).

Находим центр как точку пересечения медиан.

x(O) = (3-4+6)/3 = 5/3,

y(O) = (4+2+5)/3 = 11/3,

z(O) = 0.

О((5/3; (11/3); 0), D(2;3;8).

Вектор ОД = ((1/3); (-2/3); 8).

Н = √((1/3)² + (-2/3)² + 8²) = √(1/9) + (4/9) + 64) = √581/3 ≈ 8,034647.