4) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1; ∠BDA=60°; CC1=5см; AD=6см.
Вычисли объём.
5)В прямоугольном параллелепипеде DEFGD1E1F1G1 DE=9см; DG=12см . Вычисли объём, если угол между диагональю параллелепипеда и основанием равен 45° .
а) V=810⋅3–√см3
б) V=540⋅3–√см3
в) V=1620см3
г) V=1620⋅3–√см3
7) Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда равны 1; 2 и 4. Вычисли объём прямоугольного параллелепипеда.
14)Цилиндр описан вокруг прямой треугольной призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник c острым углом 30° градусов. Вычисли объём призмы, если радиус основания цилиндра равен 6 см и диагональ большей боковой грани образует с плоскостью основания призмы угол 60° градусов.
24) Kаковы должны быть размеры (радиус и высота цилиндра) закрытого цилиндрического бака объёмом 35,152π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?
16) Kаковы должны быть размеры (радиус и высота цилиндра) открытого цилиндрического бака объёмом 12,167π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?
17) Объём прямой четырёхугольной призмы равен 63см3 . Площадь основания увеличили в 4 раза, длину высоты призмы уменьшили в 7 раз. Вычислить объём получившейся призмы.
а) 72см3
б) 144см3
в) 441см3
г) 36см3
19) В цистерну цилиндрической формы налита вода до отметки 2 м (см. рис.).
Объём всей цистерны равен 21м3, а её высота — 6м.
Найди объём воды в цистерне.
Aber Sie keine Tiere als Haustiere zu halten , auch wenn er wirklich mag. Crocodile können einen guten Haustier machen ? Oder ein Löwe oder ein Tiger oder Bär ? Man kann sie lieben, aber sie wird dich lieben ? Eines Tages, als sie groß sind, können sie gefährlich werden können .
Was mich betrifft, ziehe ich Hunde. Sie sind so klug und ehrlich. Wenn sie dich anschauen mit schönen Augen du, dass sie dich verstehen, aber nicht sprechen kann .
Menschen lehren Hunde verstehen Befehle , tun einige Stunts . Und ich denke, Hunde Menschen lehren, freundlicher zu sein, an andere zu denken . Menschen ändern sich zum Besseren , wenn sie Haustiere zu halten .
Natürlich müssen Haustiere eine Menge Hilfe . Sie müssen sich einen Platz , wo sie schlafen und essen ordentlich und sauber haben, müssen Sie sie drei Mal am Tag zu geben. Hunde brauchen mehr Aufmerksamkeit und Pflege als Katzen. Sie müssen es für Spaziergänge mindestens zweimal am Tag zu nehmen.
Ich habe einen Hund als Haustier. Sein Name ist im Ruhestand. Ich liebe ihn sehr. Ich kaufte es . Mein Hund ist gut. Es hat eine schwarze Nase , braun und schwarz Pelz. Meine Rassehund . Er liebt es zu schwimmen . Ret hat Chappi und Knochen. Ich gehe für einen Spaziergang mit seinem Rücktritt . Mein Vater hilft mir, Pflege des Hundes zu nehmen.
Wie so viele Alben. Ret sehr großen Hund. Er lebt in einem Haus, Hund. Wir mögen retro.
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
= ; (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
. (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-z-7=0 угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v) ×1 -3u + v =0, или v = - u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u≠0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:
(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v) ×3 = 0, или v = - 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.